Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim e não?
resposta: 4096 formas de responder Resolução: Cada resposta do questionário todo, consta de uma sequência $\phantom{X}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...\, ,\, a_{12})\phantom{X}$ onde cada $\,a_{\large i}\,$ vale S (sim) ou N (não). Além disso:
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências do tipo acima é: $\,\underbrace{2\,\centerdot\,2\,\centerdot\,...\,\centerdot\,2}_{\Large 12\;vezes} \, = 2^{\large 12}\,=\,4096$
Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder os 20 testes?
resposta: $\,2^{\large 20}\,=\,1048576\,$ formas ×
Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas (escolhidas entre as 26 existentes) num teclado de letras do computador? Entre eles consta o anagrama TECTEC?
(ENE) Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?
Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas sequências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado?
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é: $\,\underbrace{10\,\centerdot\,10\,\centerdot\;...\;\centerdot\,10}_{\Large 7\;vezes} \, = 10^{\large 7}\,=\,10 000 000$
As letras do código MORSE são formadas por sequências de traços (—) e pontos (●), sendo permitidas repetições. Por exemplo (—;●;—;●;●). Quantas letras podem ser representadas:
Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: a) se a escolha for feita com reposição? b) se a escolha for feita sem reposição?
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\,A\,$ o conjunto das cartas do baralho. Temos #A = 52. Cada escolha consta de uma sequência do tipo $\phantom{XX}(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ onde $\,a_{\large 1}\,\in\,A,\,a_{\large 2}\,\in\,A,\,a_{\large 3}\,\in\,A,\,a_{\large 4}\,\in\,A,\,a_{\large 5}\,\in\,A\;$ (pois a escolha foi feita com reposição. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é:$\,\underbrace{52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52}_{\Large 5\;vezes} \, = 52^{\large 5}$
b)
Se a escolha é feita sem reposição então cada sequência $\;(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ é tal que cada elemento pertence a $\;A\;$ e são todos elementos distintos. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é $\,\underbrace{52\,\centerdot\,51\,\centerdot\,\centerdot\,50\,\centerdot\,49\,\centerdot\,48}_{\Large 5\;fatores} \, = 311875200\;$
Quantos divisores positivos tem o número $\,3888\,=\,2^4\, \centerdot \, 3^5\,$?
resposta: 30 Resolução: Cada divisor é um número do tipo $\;2^{\Large \alpha_1}\,\centerdot\,3^{\Large \alpha_2}\,$ onde: $\phantom{XX}\alpha_1\,\in\,\lbrace\,0,\,1,\,2,\,3,\,4\,\rbrace\,$ $\phantom{XX}\alpha_2\,\in\,\lbrace\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\,\rbrace\,$ Exemplo:$\;2^3\,\centerdot\,3^5\phantom{X};\phantom{X}2^0\,\centerdot\,3^3\,$ etc. Portanto, o número de divisores é o número de pares ordenados $\,(\,\alpha_1\,,\,\alpha_2\,)\,$ que, pelo Princípio Fundamental da Contagem é: $\phantom{XX}5\,\centerdot\,6\,=\,30\,$
Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos $\,Ox\,$ e $\,Oy\,$. Ele pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). a) Quantas trajetórias ele pode percorrer se der exatamente 4 passos? b) Quantas trajetórias ele pode percorrer se der 6 passos? Faça o gráfico de 3 trajetórias possíveis.
Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo onde há um único vencedor em cada partida. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as sequências possíveis de ganhadores?
Uma urna tem 10 bolinhas numeradas 1, 2, 3, ... , 10. Três bolinhas são extraídas sucessivamente, sem reposição. De quantas formas os números das bolinhas formam uma P.A. na ordem em que foram extraídas?
Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito?
resposta:
Resolução: Cada maneira de pintar a bandeira consiste de uma sequência de cinco cores distintas (sequência, porque as listras da bandeira estão numa ordem) escolhidas entre as oito existentes. Logo, esse número de sequências procurado é: $\phantom{XX}A_{\large 8,5}\,=\,\underbrace{\,8\,\centerdot\,7\,\centerdot\,6\,\centerdot\,5\,\centerdot\,4\,}_{\Large 5 fatores} \, = \,6720$ Resposta:
(PUC - 1970) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume:
(CESCEA - 73) Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões "standard", "luxo" e "superluxo", quantas são as alternativas para o comprador?
(FGV - 1971) O sistema telefônico de São Paulo utiliza sete (7) dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2) e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar as estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter:
(FGV - 1972) Existem apenas dois modos de se atingir uma cidade x partindo de outra A. Uma delas é ir até uma cidade intermediária B e de lá atingir x, e a outra é ir até C e de lá chegar a x. (Veja esquema ao lado).
Existem 10 estradas ligando A e B; 12 ligando B à x; 5 ligando A à C; 8 ligando C à x; nenhuma ligação entre B e C e nenhuma ligação direta entre A e x. O número de percursos diferentes que se pode fazer para partindo de A atingir x pela primeira vez é:
Existem 4 estradas que unem as cidades A e B e 5 estradas que unem as cidades B e C. Há também 2 estradas que unem A a C, não passando por B. Usando estas estradas, o número de viagens possíveis, partindo de A, passando por C e voltando para A é:
(ITA - 1972) Sejam $\,A\,$ um conjunto finito com $\,m\,$ elementos e $\,I_{\Large n}\,=\,\lbrace\,1, 2, ... , n\,\rbrace\,$. O número de todas as funções definidas em $\,I_{\Large n}\,$ com valores em $\,A\,$ é:
(CESGRANRIO - 1977) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele se possa apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é:
(CESGRANRIO - 1976) Em um computador digital um "bit" é um dos algarismos 0 ou 1 e uma "palavra" é uma sucessão de "bits". O número de "palavras" distintas de 32 "bits" é:
(MACKENZIE - 1974) Os ingleses têm o costume de dar alguns nomes para crianças. O número de maneiras diferentes de chamar-se uma criança, se existem 300 nomes diferentes e se uma criança não pode ter mais do que 3 nomes, todos diferentes entre si, é:
(FGV - 1971) Uma loteria (semelhante à loteria esportiva), apresenta 10 jogos, cada um com 4 possíveis resultados. Usando a aproximação $\,2^{\large 10}\,\cong\,10^{\large 3}\,$, então o número total de resultados possíveis será:
(FGV - 1976) As peças de um jogo de dominó são pequenos retângulos de madeira, divididos em duas metades. Em cada metade está marcado um certo número de pontos. As peças são feitas de forma que os totais de pontos que aparecem em cada uma das metades são perfeitamente permutáveis girando-se a peça de meia volta. Por exemplo, a peça (2, 5) é também a peça (5, 2). Se em cada metade podem aparecer desde nenhum ponto até n pontos, então o número de peças diferentes é:
(USP - 1969) Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
(MACKENZIE - 1977) Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiros, o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros, é:
(FGV - 1974) Uma moto tem combustível suficiente para somente três voltas num circuito. Pedro, Manoel e Antônio disputam, através de lançamento de uma moeda, a oportunidade de dar cada volta, do seguinte modo:
(I)
o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta;
(II)
se coroa, a vez é de Manoel;
(III)
se cara, a vez é de Pedro;
(IV)
se a mesma face ocorrer consecutivamente, a vez é de Antônio.
Pode-se dizer, então, que Antônio dará:
a)
pelo menos uma volta
b)
no máximo uma volta
c)
pelo menos uma volta, se a primeira for dada por Manoel
d)
no máximo duas voltas, se a primeira for dada por Pedro
(CESCEA - 1973) Suponha que no início de um jogo você tenha $Cr\$\, 2,00$ e que só possa jogar enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada você perde ou ganha $Cr\$\, 1,00$, ao final de três jogadas os possíveis resultados são:
(FGV - 1975) Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde um cruzeiro. Começará com um cruzeiro e parara de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar três cruzeiros, isto é, se tiver quatro cruzeiros. O número de maneiras em que o jogo poderá se desenrolar é:
(MACKENZIE - 1969) Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, um primeiro e um segundo prêmios poderão ser distribuídos de:
(FGV - 1974) Existem 7 voluntários para exercerem 4 funções distintas. Qualquer um deles está habilitado para exercer qualquer dessas funções. Portanto, pode-se escolher quaisquer 4 dentre os 7 voluntários e atribuir a cada um deles uma das 4 funções. Quantas possibilidades existem para essa atribuição?
(CESCEM - 1977) As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. O número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo, é:
(CESCEA - 1974) De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores escolhidos de 22, dos quais 3 são goleiros e onde só o goleiro tem posição fixa?
(CESCEM - 1976) O número de funções injetoras definidas em $\,A\,=\,\lbrace1;\,2;\,3\rbrace\,$ com valores em $\,B\,=\,\lbrace0;\,1;\,2;\,3;\,4\rbrace\,$ é:
(FGV - 1974) Uma palavra é formada por $\,N\,$ vogais e $\,N\,$ consoantes. De quantos modos distintos pode-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
(PUC - 1977) Designando-se A, B, C, D, E e F, seis cidades, o número de maneiras que permitem a ida de A até F, passando por todas as demais cidades é:
(ITA - 1971) Dispomos de seis cores diferentes. Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica a outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?
